Question

如图，四边形ACDE、BAFG是以△ABC的边AC、AB为边向△ABC外所作的正方形．
求证：（1）EB=FC．
（2）EB⊥FC．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ACDE、BAFG都是正方形，
∴AB=AF，AC=AE，∠BAF=∠CAE=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△AFC中，，
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴EB=FC；

（2）∵△ABE≌△AFC，
∴∠AEB=∠ACF，
连接CE，设EB、CF相交于O，
则∠OEC+∠OCE=∠OEC+∠ACE+∠BEA=∠ACE+∠AEC=90°，
在△OCE中，∠COE=180°-（∠OEC+∠OCE）=180°-90°=90°，
∴EB⊥FC．
分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AF，AC=AE，∠BAF=∠CAE=90°，然后求出∠BAE=∠CAF，再利用“边角边”证明△ABE和△AFC全等，根据全等三角形对应边相等可得EB=CF；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠ACF，连接CE，设EB、CF相交于O，然后求出∠OEC+∠OCE=90°，再求出∠COE=90°，然后根据垂直的定义即可得证．
点评：本题考查了正方形的四条边都相等，四个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，比较简单，求出∠BAE=∠CAF是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．