Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交边AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC所在平面内绕顶点P转动时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①△PFA≌△PEB②EF=AP③△PEF是等腰直角三角形④S四边形AEPFS△ABC，上述结论中始终正确有______．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由等腰直角三角形的性质得APBC=PB，∠B=∠CAP=45°，根据余角的性质得∠BPE=∠APF，进而即可证明△PFA≌△PEB，即可判断①；根据等腰三角形的性质和中位线的性质，即可判断②；由△PFA≌△PEB得PE=PF，进而即可判断③；由△PFA≌△PEB，得S△PFA=S△PEB，进而即可判断④．

∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，

∴AP⊥BC，APBC=PB，∠B=∠CAP=45°，

∵∠APF+∠EPA=90°，∠EAP+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠APF，

在△BPE和△APF中，

∵，

∴△PFA≌△PEB(ASA)，即结论①正确；

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，

∴APBC，

又∵EF不一定是△ABC的中位线，

∴EF≠AP，故结论②错误；

∵△PFA≌△PEB，

∴PE=PF，

又∵∠EPF=90°，

∴△PEF是等腰直角三角形，故结论③正确；

∵△PFA≌△PEB，

∴S△PFA=S△PEB，

∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APBS△ABC，故结论④正确；

综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，始终正确的有3个结论．

故答案为：①③④．