如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=

，以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系．设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）用含t的代数式表示点D，点E的坐标；
（3）当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，求经过O、D、E三点的抛物线的解析式（只需求出一条即可）．

分析：（1）在Rt△AOC中，已知AO的长以及∠CAO的正切值，能求出OC的长，即可确定点C的坐标，利用待定系数法能求出直线AC的解析式；
（2）过点D作AO、OC的垂线，则有△ADF∽△DCH∽△ACO，根据相似三角形对应边成比例求出点D的坐标，根据OE=OC-CE求出点E的坐标；
（3）当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，可能∠DOE=90°或∠DEO=90°或∠ODE=90°，而当∠DOE=90°或∠DEO=90°时，显然经过O、D、E三点的抛物线不存在，故只能是∠ODE=90°，根据两角对应相等的两三角形相似得出△OHD∽△DHE，由相似三角形对应边成比例得到DH²=EH•OH，将DH=3-

t，OH=

t，EH=4-

t代入，得到关于t的一元二次方程19t²-34t+15=0，解方程求出t₁=1，t₂=

，得到对应的D、E两点的坐标，运用待定系数法即可求出经过O、D、E三点的抛物线的解析式．

解答：解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，
∴CO=AO•tan∠CAO=AO•tan∠ACB=4，
则A（0，3），C（4，0）．
设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，
得：4k+3=0，k=-

．
故直线AC的解析式为：y=-

x+3；

（2）过点D作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H，
则有△ADF∽△DCH∽△ACO，
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，
∵AD=3t（其中0≤t≤

），OC=AB=4，AC=5，
∴3t：（5-3t）：5=AF：DH：3=FD：HC：4，
∴FD=

t，AF=

t，DH=3-

t，HC=4-

t，
∴点D的坐标为（

t，3-

t）．
∵CE=t，
∴OE=OC-CE=4-t，
∴点E的坐标为（4-t，0）；

（3）当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，∠ODE=90°，∠DOH=∠EDH，
又∵∠OHD=∠DHE=90°，
∴△OHD∽△DHE，
∴DH：EH=OH：DH，即DH²=EH•OH，
∵DH=3-

t，OH=FD=

t，EH=CH-CE=4-

t，
∴（3-

t）²=（4-

t）•

t，
即：19t²-34t+15=0，
t₁=1，t₂=

．
①当t=1时，D（

，

），E（3，0）．
设经过O、D、E三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将D、E两点的坐标代入，得

144

9a+3b=0

，
解得

a=-

，
∴y=-

x²+

x；
②当t₂=

时，同理可得y=-

x²+

x．
（以上①②解出一种即可）

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，其中（3）在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

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（1）求直线AC的解析式；
（2）用含t的代数式表示点D的坐标；
（3）当y为何值时，△ODE为直角三角形？
（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式。