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    如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题：

    （1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；

    （2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

    （3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）

     

    【答案】

    （1）BF=CD．证明详见解析；（2）不成立，；（3）.

    【解析】

    试题分析：本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD，即可得到BF=CD；

    （2）如答图③所示，连接OC、OD，可证明△BOF∽△COD，进而求出相似比为 ；（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，进而可求相似比为.

    试题解析：

    解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：如答图②所示，连接OC、OD．

    ∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，

    ∴OB=OC，∠BOC=90°．

    ∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，

    ∴OF=OD，∠DOF=90°．

    ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

    ∴∠BOF=∠COD．

    ∵在△BOF与△COD中，

    ∴△BOF≌△COD（SAS），

    ∴BF=CD．

    （2）答：（1）中的结论不成立．

    如答图③所示，连接OC、OD．

    ∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，

    ∴ ，∠BOC=90°

    ∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，

    ∴，∠DOF=90°．

    ∴

    ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

    ∴∠BOF=∠COD．

    在△BOF与△COD中，

    ∵，∠BOF=∠COD，

    ∴△BOF∽△COD，

    ∴ ．

    （3）如答图④所示，连接OC、OD．

    ∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，

    ∴ ，∠BOC=90°

    ∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，

    ∴，∠DOF=90°．

    ∴

    ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

    ∴∠BOF=∠COD．

    在△BOF与△COD中，

    ∵，∠BOF=∠COD，

    ∴△BOF∽△COD，

    ∴ ．

    考点：几何图形变换综合题．

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读：如图（1），正方形ABCD的边AB在x轴上，C、D在抛物线y=-x（x-2）的图象上，我们称正方形ABCD内接于抛物线y=-x（x-2）．抛物线y=-x（x-2）的对称轴交x轴于点M，设正方形ABCD的边长为a1，那么a1满足哪个二元一次方程呢？由对称性可知M是AB的中点，则AM=
    1
    2
    a1    ，AD=a1．易知OM=1，所以OA=1-
    1
    2
    a1    ，所以D点坐标为(1-
    1
    2
    a1，a1)    ，代入抛物线解析式并化简可知a1满足二元一次方程(
    1
    2
    )2a12+a1-1=0    ；根据以上材料探索：（第（1）小题要求写出过程，其它两小题只要写出答案，不必要过程）
    （1）如图（2），若并排两个正方形内接于抛物线y=-x（x-2），则每个正方形的边长a2满足的二元一次方程是
     
    ；
    （2）如图（3），若并排三个正方形内接于抛物线y=-x（x-2），则每个正方形的边长a3满足的二元一次方程是
     
    ；
    （3）如图（4），若并排n个正方形内接于抛物线y=-x（x-2），则每个正方形的边长an满足的二元一次方程是
     
    ；
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•盐城）阅读材料
    如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．
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    （1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
    （2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
    （3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出
    BFCD
    的值（用含α的式子表示出来）

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    科目：初中数学 来源：2012年苏教版初中数学七年级下 11.2全等三角形练习卷（解析版） 题型：解答题

    阅读下列材料:

    如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；

    如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；

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    像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.

    问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.

    ­

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    科目：初中数学 来源：2013年江苏省盐城市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

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