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    如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”

    （1）请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；

    （2）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：△ABC是“好玩三角形”；

    （3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a, ∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同的速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P所经过的路程为s

    ①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；

    ②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”？请直接写出tanβ的取值范围。

    （4）本小题为选做题

    依据（3）中的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）。

     

    【答案】

    （1）

    （2）见解析（3）①或②（4）见解析

    【解析】解：（1）作图如下，△ABC即为所求。

    （2证明：取AC的中点D，连接BD，

    ∵∠C=90°，，∴。

    设，由，。

    ∴。

    ∴AC=BD。∴△ABC是“好玩三角形”。

    （3）①若β=45°，当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”。

    当点P在BC上时，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，

    ∵PC=QC，∠ACB=∠ACD，∴AC是PQ的垂直平分线。

    ∴AP=AQ。

    ∵∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，∴△AEF∽△CEP。

    ∴。

    ∵PE=CE，∴。

    ⅰ）当底边PQ与它的中线AE相等，即AE=PQ时，，∴。

    ⅱ）当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，

    作QN⊥AP于点N，∴MN=AN=PM。

    ∴QN=MN。

    ∴。

    ∴。

    ∴。

    综上所述，的值为或。

    ②。

    （4）若，则在点P，Q的运动过程中，使得△APQ是“好玩三角形”的个数为2。

    （1）作边AB，取AB中点D，以点D 为圆心，AB长画圆，圆上异于点A、B 的任一点C与点A、B连成的三角形就是“好玩三角形”。

    （2）取AC的中点D，连接BD，应用锐角三角函数定义和勾股定理证明AC=BD即可。

    （3）①先确定当点P在BC上时才可能使△APQ是“好玩三角形”，从而分底边PQ与它的中线AE相等和腰AP与它的中线QM相等两种情况求解。

    ②由①知两上临界点和2，即可得出结论。

    （4）在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系如下：

    tanβ的取值范围

    “好玩三角形”的个数

    2

    1

    0

    无数个

     

     

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    （1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
    （2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=
    		3
    2
    ，求证：△ABC是“好玩三角形”；
    （3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．
    ①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求
    a
    s
    的值；
    ②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．
    （4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）
    依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）

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    科目：初中数学 来源：2013年浙江省台州市高级中等学校招生考试数学 题型：044

    如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”

    (1)请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；

    (2)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求证：△ABC是“好玩三角形”；

    (3)如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝2β，点P，Q从点A同时出发，以相同的速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P所经过的路程为S

    ①当β＝45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值

    ②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”请直接写出tanβ的取值范围．

    (4)本小题为选做题

    依据(3)中的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为1)．

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    科目：初中数学 来源：2013年初中毕业升学考试（浙江台州卷）数学（带解析） 题型：解答题

    如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”

    （1）请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；
    （2）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：△ABC是“好玩三角形”；
    （3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a, ∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同的速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P所经过的路程为s
    ①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；
    ②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”？请直接写出tanβ的取值范围。
    （4）本小题为选做题
    依据（3）中的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）。

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    科目：初中数学 来源：2013年浙江省台州市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．
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    （2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求证：△ABC是“好玩三角形”；
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