Question

如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．
①用含y的代数式表示CD²，并猜想CD²与DE²之间的数量关系，请给出证明；
②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意，设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+1，代入B（4，0），得：
a（4-2）²+1=0，解得：a=-
∴抛物线的解析式：y=-（x-2）²+1．

（2）①猜想：CD²=DE²；
证明：由D（x，y）、C（2，0）、E（x，2）知：
CD²=（x-2）²+y²，DE²=（y-2）²；
由（1）知：（x-2）²=-4（y-1）=-4y+4，代入CD²中，得：
CD²=y²-4y+4=（y-2）²=DE²．
②由于∠EDC=120°＞90°，所以点D必在x轴上方，且抛物线对称轴左右两侧各有一个，以左侧为例：
延长ED交x轴于F，则EF⊥x轴；
在Rt△CDF中，∠FDC=180°-120°=60°，∠DCF=30°，则：
CD=2DF、CF=DF；
设DF=m，则：CF=m、CD=DE=2m；
∵EF=ED+DF=2m+m=2，
∴m=，DF=m=，CF=m=，OF=OC-CF=2-，
∴D（2-，）；
同理，抛物线对称轴右侧有：D（2+，）；
综上，存在符合条件的D点，且坐标为（2-，）或（2+，）．
分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入B点的坐标求解即可．
（2）①由坐标系两点间的距离公式不难得到CD²和DE²的表达式，再将（1）的抛物线解析式代入CD²的表达式中，用y替换掉x后，比较两者的大小关系即可；
②∠EDC是钝角，那么点D一定在x轴的上方，且抛物线对称轴的左右两侧各一个（它们关于抛物线对称轴对称），延长ED交x轴于F，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，那么DC=2DF、CF=DF，设出DF的长后，可以表示出CD、DE的长，由EF=ED+DF=2即可得出DF的长，从而求出点D的坐标．
点评：此题主要考查了抛物线解析式的确定、坐标系两点间的距离公式、解直角三角形等重要知识；（2）题中，由于①题为②题做了铺垫使得总体的难度降低了不少，最后一题中，一定要注意所求点的位置可能有多种情况．