Question

【题目】如图， 中， ， ，点是线段延长线上任意一点，以为直角边作等腰直角，且，连结．

（）求证： ．

（）在点运动过程中，试问的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势．

（）已知，设， ．

①试求关于的函数表达式．

②当时，求的外接圆半径．

Answer 1

【答案】（）见解析；（）结论： 的度数是定值， ；（）①，

②的外接圆的半径为．

【解析】试题分析： 设与交于点，由，推出，，推出， ，推出，

推出，由，推出，即可解决问题．
（2）结论： 的度数是定值， ．由（1）可知△，即可推出
（3）①在中，由，推出BC=AC=1，在中， ，由，推出，推出，可得，根据计算即可．②取的中点，连接， ，

由 推出 推出点是的外接圆的圆心，求出线段即可解决问题．

试题解析：（）证明：如图，设与交于点，

∵， ，

∴，

∵， ，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴， ，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

（）结论： 的度数是定值， ．

理由：由（）可知，

∴，

∴点运动过程中， 的度数是定值，

．

（）①在中，

∵，

∴，

在中， ，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴

，

．

②取的中点，连接， ，

∵，

∴，

∴点是的外接圆的圆心，

∵，

∴，

解得或（舍），

∴，

由（）可知，

∴，

在中，

，

∴．

∴的外接圆的半径为．