Question

【题目】已知抛物线（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）如图①，将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，抛物线与y轴交于点C，点D是线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴交抛物线于点E，求线段DE的长度的最大值；

（3）在（2）的条件下，当线段DE处于长度最大值位置时，作线段BC的垂直平分线交DE于点F，垂足为H，点P是抛物线上一动点，⊙P与直线BC相切，且S⊙P：S△DFH=2π，求满足条件的所有点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）9；（3）（，﹣），（，），（，），（，）．

【解析】

（1）将点A（﹣1，0）和点B（4，0）代入即可得到结论；

（2）由对称性可知，得到抛物线y2的函数解析式为，求得直线BC的解析式为：y=﹣x+4，设D（m，﹣m+4），E（m，），其中0≤m≤4，得到DE=﹣m+4﹣（）=，即可得到结论；

（3）由题意得到△BOC是等腰直角三角形，求得线段BC的垂直平分线为y=x，由（2）知，直线DE的解析式为x=1，得到H（2，2），根据S⊙P：S△DFH=2π，得到r=，由于⊙P与直线BC相切，推出点P在与直线BC平行且距离为的直线上，于是列方程即可得到结论．

解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（4，0）代入得：

解得，

∴抛物线y1的函数解析式为：；

（2）由对称性可知，抛物线y2的函数解析式为：，

∴C（0，4），

设直线BC的解析式为：y=kx+q，

把B（4，0），C（0，4）代入得，k=﹣1，q=4，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+4，设D（m，﹣m+4），E（m，），其中0≤m≤4，

∴DE=﹣m+4﹣（）=，

∵0≤m≤4，

∴当m=1时，DEmax=9；

此时，D（1，3），E（1，﹣6）；

（3）由题意可知，△BOC是等腰直角三角形，

∴线段BC的垂直平分线为：y=x，由（2）知，直线DE的解析式为：x=1，

∴F（1，1），

∵H是BC的中点，

∴H（2，2），

∴DH=，FH=，

∴S△DFH=1，设⊙P的半径为r，

∵S⊙P：S△DFH=2π，

∴r=，

∵⊙P与直线BC相切，

∴点P在与直线BC平行且距离为的直线上，

∴点P在直线y=﹣x+2或y=﹣x+6的直线上，

∵点P在抛物线上，

∴，

解得：x1=，x2=，

，

解得：x3=，x4=，

∴符合条件的点P坐标有4个，分别是（，﹣），（，），（，），（，）．