Question

将七个边长都为1的正方形如图所示摆放，点A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆分别是六个正方形的中心，则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是

3

2

．

Answer 1

分析：连接BD和AA₂，根据正方形性质得出DA₁=A₁A₂，∠A₁DN=∠A₁A₂M=45°，∠DA₁A₂=∠NA₁M=90°，求出∠DA₁N=∠A₂A₁M，根据ASA证△DA₁N≌△A₂A₁M，推出四边形MA₁NA₂的面积等于△DA₁A₂的面积，也等于正方形ABA₂D的面积的

1

4

，得出其余的阴影部分的面积都等于正方形面积的

1

4

，求出正方形的面积，即可求出答案．

解答：解：连接BD和AA₂，
∵四边形ABA₂D和四边形A₁EFC都是正方形，
∴DA₁=A₁A₂，∠A₁DN=∠A₁A₂M=45°，
∠DA₁A₂=∠NA₁M=90°，
∴∠DA₁N=∠A₂A₁M，
∵在△DA₁N和△A₂A₁M中
∠A₁DN=∠A₁A₂M，DA₁=A₁A₂，∠DA₁N=∠A₂A₁M，
∴△DA₁N≌△A₂A₁M，
即四边形MA₁NA₂的面积等于△DA₁A₂的面积，也等于正方形ABA₂D的面积的

1

4

，
同理得出，其余的阴影部分的面积都等于正方形面积的

1

4

，
则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是6×

1

4

×1²=

3

2

，
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出四边形MA₁NA₂的面积等于△DA₁A₂的面积，等于正方形ABA₂D的面积的

1

4

，题型比较好，是一道具有一定代表性的题目．