Question

在平面直角坐标系xoy中，等腰三角形ABC的三个顶点A(0，1)，点B在x轴的正半轴上，∠ABO=30°，点C在y轴上．

（1）直接写出点C的坐标为                    ；
（2）点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，在图中标出点P的位置并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为         ．

Answer 1

(1)（0，3）或（0，-1）；（2）理由见解析；（3）.

试题分析：（1）先确定A的位置，再作出△AOB，就可以求出AB=2，OB=，在y轴上符合条件的有两点C1和C2，求出即可；
（2）根据AP=AO=1，得出P的对称点是O点，求出OC，即可得出OP，解直角三角形求出PQ和OQ即可；
（3）作出B关于y轴的对称点，连接PB′即可得出M点的位置，求出PB′长即可．
试题解析:（1）符合条件的有两点，以A为圆心，以AB为半径画弧，交y轴于C₁、C₂点，

∵A（0，1），
∴OA=1，
∵在Rt△AOB中，OA=1，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=2，OB=，
即AC₁=AC₂=2，
∴OC₁=1+2=3，OC₂=2-1=2，
∴C的坐标是（0，3）或（0，-1），
（2）P的坐标是（， ），
理由是：过P作PQ⊥x轴于Q，
∵OA=1，AP=1，AO⊥x轴，
∴x轴和以A为圆心，以1为半径的圆相切，
∵AP=1，
∴P在圆上，
∵点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，
∴P′点和O重合，如图：

∵P和P′关于直线AB对称，
∴PP′⊥AB，PC=P′C，
由三角形面积公式得：S_△AOB=AO×OB=AB×CO，
∴×1=2OC，
∴OC=，
∴PP′=2OC=，
∵∠ABO=30°，∠OCB=90°，
∴∠POB=60°，
∴PQ=OP×sin60°= ，OQ=OP×cos60°=，
即P的坐标是（，）；
（3）作B关于y轴的对称点B′，连接PB′交y轴于M，则M为所求，

∵OB=，
∴OB′=，
即BB′=2，
∵PQ=，
∴由勾股定理得：PB′=，
∴PM+BM=PM+B′M=PB′=．
考点: 1.轴对称-最短路线问题；2.坐标与图形性质；3.等腰三角形的性质.