Question

如图，已知正方形ABCD，点E在BC边上，将△DCE绕某点G旋转得到△CBF，点F恰好在AB边上．
（1）请画出旋转中心G（保留画图痕迹），并连接GF，GE；
（2）若正方形的边长为2a，当CE=______时，S_△FGE=S_△FBE；当CE=______时，S_△FGE=3S_△FBE．

Answer 1

（1）如图：分别作线段BC、EF的垂直平分线的交点就是旋转中心点G．

（2）∵G是旋转中心，且四边形ABCD是正方形，
∴FG=EG，∠FGE=90°
∵S_△FGE=

FG2

2

，且由勾股定理，得2FG²=EF²，
∴S_△FGE=

EF2

4

．
设EC=x，则BF=x，BE=2a-x，在Rt△BEF中，由勾股定理，得
EF²=x²+（2a-x）²，
∴S_△FGE=

x2+(2a-x)2

4

．
∵S_△FBE=

x(2a-x)

2

，
①当S_△FGE=S_△FBE时，则

x2+(2a-x)2

4

=

x(2a-x)

2

，
解得：x=a；
∴EC=a．
②当S_△FGE=3S_△FBE时，则

x2+(2a-x)2

4

=

x•(2a-x)

2

•3，
∴2x²-4ax+a²=0，
解得：x=

2a+ 2 a

2

或x=

2a- 2 a

2

．
∴EC=

2a+ 2 a

2

或EC=

2a- 2 a

2

．
故答案为：a；

2a+ 2 a

2

或EC=

2a- 2 a

2

．