【题目】综合与探究：在平面直角坐标系
中，已知抛物线
与
轴交于
，
两点(点在点的右侧)，与
轴交于点
，它的对称轴与轴交于点
，直线
经过，两点，连接
．
（1）求，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）探索直线上是否存在点
，使
为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点
是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点
：
①使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；
②使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）点
的坐标为
，点
的坐标为
，
；（2）存在，点
的坐标为
或
；（3）①抛物线上存在点
，使以点
为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为
；②抛物线上存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为
【解析】
（1）先由抛物线的解析式以及图像特征求得点
、
的坐标，再利用待定系数法即可求得直线
的函数表达式；
（2）先由点、 、 三点的坐标根据坐标系中距离公式推出
为等边三角形，再分两种情况画图进行分类讨论，利用解直角三角形确定符合要求的点的坐标．
（3）①通过添加辅助线构造出四边形
，然后根据菱形的判定方法进行证明即可；
②通过添加辅助线构造出四边形，然后根据矩形的判定方法进行证明即可．
解：（1）当
时，
解得
，
∵
∴点的坐标为，点的坐标为
∴抛物线的对称轴为直线
∴点的坐标为
当
时，
∴点的坐标为
设直线的表达式为
，则
解得
∴直线的表达式为．
（2）结论：直线上存在点，使为直角三角形．
证明：∵点的坐标为，点的坐标为
∴
又∵点
的坐标为，
∴
∴
∴为等边三角形
∴
分两种情况：
①当
时，
∵
∴
作
轴于点
，如图：
∵在
中，
∴
，
∴点
的坐标为．
②作
轴于点
，如图：
当
时
∵
∴
，
∴
∴
在
中，
∴
，
∵
∴点
的坐标为
∴综上所述：直线上存在点，使为直角三角形，点的坐标为或；
（3）①过点作
轴交抛物线于点，连接
，如图：
∵点的坐标为，
∴当时，
∴
，
（不合题意舍去）
∴点的坐标为
∴
∵点的坐标为
∴
∵由（2）可知
∴
∴四边形
是菱形
∴当点
位于点处时，抛物线上存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为；
②过点作
交直线于点，连接
、
，如图：
∵
∴
∵由（2）可知
∴
∵由（2）可知
∴
∴
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
∴
，
∴
∴四边形
是矩形
∴抛物线上存在点即点处，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为．
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【题目】抛物线y=x2+2ax-3与x轴交于A、B(1，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移m(m＞0)个单位，当平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点时，则m的取值范围是_______________
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【题目】如图，已知反比例函数y=
(x＞0)与正比例函数y=x(x≥0)的图象，点A(1，4)，点A'(4，b)与点B'均在反比例函数的图象上，点B在直线y=x上，四边形AA'B'B是平行四边形，则B点的坐标为______．
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【题目】抛物线
的对称轴为直线
，且顶点在
轴上，与
轴的交点为
，点的坐标为
，点
在抛物线的对称轴上，直线
与直线相交于点
．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）点
是（1）中图象上的点，过点作轴的垂线与直线交于点
．试判断
是否为等腰三角形，并说明理由．
（3）作
于点
，当点从横坐标2013处运动到横坐标2019处时，请求出点运动的路径长．
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【题目】已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，2)，点P(m，n)是抛物线
上的一个动点.
(1)如图1，过动点P作PB⊥x轴，垂足为B，连接PA，请通过测量或计算，比较PA与PB的大小关系：PA_____PB(直接填写“＞”“＜”或“=”，不需解题过程)；
(2)请利用(1)的结论解决下列问题：
①如图2，设C的坐标为(2，5)，连接PC，AP+PC是否存在最小值？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，简单说明理由；
②如图3，过动点P和原点O作直线交抛物线于另一点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式.
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【题目】如图，已知△ABC，请用直尺（不带刻度），和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（1）作菱形AMNP，使点M，N、P在边AB、BC、CA上；
（2）当∠A=60°，AB=8，AC=6时，求菱形AMNP的面积．
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【题目】如图的
中，
，且
为
上一点．今打算在
上找一点
，在
上找一点
，使得
与
全等，以下是甲、乙两人的作法：
（甲）连接
，作的中垂线分别交、于点、点，则、两点即为所求
（乙）过作与平行的直线交于点，过作与平行的直线交于点，则、两点即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A. 两人皆正确B. 两人皆错误
C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确
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【题目】（14分）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： ；
（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC=
ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．
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【题目】如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点（不与点A重合），过点P作PE⊥AB交射线AD于点E，沿PE将△APE折叠，点A的对称点为点F，连接EF，DF，CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为________．
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