Question

【题目】如图，等边的边长为，是边上的动点，交边于点，在边上取一点，使，连接．

（1）请直接写出图中与线段相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）

（2）探究：当点在什么位置时，四边形是平行四边形？并判断四边形是什么特殊的平行四边形，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，根据与平行四边形四条边交点的总个数，求相应的的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）由平行易得△BFE是等边三角形，那么各边是相等的；
（2）当点E是BC的中点时，△PEC为等边三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四边形EFPC是平行四边形，再有EF=EC可证为菱形；
（3）根据各点到圆心的距离作答即可．

解：（1）如图，∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠A=∠C=60°．

又∵EF∥AC，

∴∠BFE=∠A=60°，∠BEF=∠C=60°，

∴△BFE是等边三角形，PE=EB，

∴EF=BE=PE=BF；

（2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形；

∵E是BC的中点，

∴EC=BE，

∵PE=BE，

∴PE=EC，

∵∠C=60°，

∴△PEC是等边三角形，

∴PC=EC=PE，

∵EF=BE，

∴EF=PC，

又∵EF∥CP，

∴四边形EFPC是平行四边形，

∵EC=PC=EF，

∴平行四边形EFPC是菱形；

（3）如图所示：

当点E是BC的中点时，EC=1，则NE=ECcos30°=，

当0＜r＜时，有两个交点；

当r=时，有四个交点；

当＜r＜1时，有六个交点；

当r=1时，有三个交点；

当r＞1时，有0个交点．