Question

【题目】如图，抛物线的与轴交于点，与轴交于点，

（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设时，的面积为．求关于的函数关系式；若有最大值，请求出的最大值，若没有，请说明理由；

（3）若是轴上一个动点，过作射线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2），当时，有最大值，最大值是；（3）存在，点为，，

【解析】

（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，把一般式转化为顶点式即得顶点坐标；

（2）如图1，先求出点B坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，由，则点H、N的横坐标都可以用含t的代数式表示，由即可得到S与t的函数关系式，进一步即可根据二次函数的性质求出S的最大值；

（3）设，分两种情况：①如图2，当在轴下方时，作轴于，由平行四边形的性质可证得，从而可得，由此可得关于x的方程，解方程即可求x的值，进而可得点P坐标；②如图3，当在轴上方时，作轴于，同①的方法解答即可．

解（1）将，代入，

得，解得：，

∴抛物线的表达式为：；

∴抛物线的顶点坐标为；

（2）由，得x=3或x=﹣1，则点，

如图1，连接、、，设直线解析式为，代入，，得：

，解得：，

∴直线的解析式为；

∵，∴，，

∴，

则当时，有最大值，最大值是；

（3）存在，P点坐标为，，；

理由如下：设，

①如图2，当在轴下方时，作轴于，

∵

∴当时，四边形为平行四边形，

∴，

∴，

∴，

解得：或（与点重合，舍去），

∴；

②如图3，当在轴上方时，作轴于，

∵

∴当时，四边形为平行四边形，

∴，

∴，

∴，

解得：或，

∴，；

综上所述，点为，，．