Question

如图，直线y=2x-6与x轴交于点A，与y轴交与点B，M是线段AB上一点，BM=2AM，反比例函数图象经过点M，
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求反比例函数解析式；
（3）已知点M′与点M关于原点对称，则△ABM′的面积为______．

Answer 1

解：（1）当x=0，y=-2x-6=-6；当y=0，-2x-6=0，解得x=-3，
∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（0，-6）；

（2）过点M作MN⊥y轴于N，如图
∴△BMN∽△BAO，
∴=，
∵BM=2AM，
∴AB=BM，
而OA=3，
∴=，解得MN=2，
∴M点的横坐标为-2，
把x=-2代入y=-2x-6得y=4-6=-2，
∴M点坐标为（-2，-2），
设反比例函数解析式为y=，
把M（-2，-2）代入y=得k=-2×（-2）=4，
∴反比例函数的解析式为y=；

（3）直线BM′交x轴于C点，如图，
∵点M′与点M关于原点对称，
∴点M′的坐标为（2，2），
设直线BM′的解析式为y=ax+b，
把B（0，-6）和M′（2，2）代入得，
解得，
∴直线BM′的解析式为y=4x-6，
把y=0代入得4x-6=0，解得x=，
∴C点坐标为（，0），
∴S△ABM′=S_△BAC+S_△M′AC
=×（3+）×6+×（3+）×2
=18．
故答案为18．
分析：（1）分别把x=0和y=0代入y=-2x-6可确定A点坐标为（-3，0），B点坐标为（0，-6）；
（2）过点M作MN⊥y轴于N，利用△BMN∽△BAO得到=，由于BM=2AM，OA=3可解得MN=2，然后利用M点在y=-2x-6可确定M点坐标；再利用待定系数法确定反比例函数的解析式；
（3）根据点关于原点对称的特点得到点M′的坐标为（2，2），再利用待定系数法确定直线BM′的解析式为y=4x-6，再确定C点坐标为（，0），然后利用S△ABM′=S_△BAC+S_△M′AC
进行计算．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了三角形面积公式以及待定系数法求函数的解析式．