Question

【题目】问题探究：

(1)如图1,在△ABC中,∠B=90，AB=3，BC=4，若△ABC的边上存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，则CP的长为______；

(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=3,边BC上存在点P,使∠APD=90，求矩形ABCD面积的最小值.

问题解决：

(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=3,∠A=∠B=90,∠C=45,边CD上存在点P,使∠APB=60°，在此条件下，四边形ABCD的面积是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 1或或2；(2) 矩形ABCD面积的最小值为18；(3)存在，+.

【解析】（1）分三种情形分别求解即可；

（2）如图2中，当以AD为直径的⊙O与BC相切时，切点为P，此时∠APD=90°，AD的长最小．求出AD的长即可解决问题；

（3）存在．如图3中，如图作等边三角形ABM的外接圆⊙O，当直线CD与⊙O相切与P时，四边形ABCD的面积最大，此时满足条件∠APB=∠AMB=60°．想办法求出AD、AB即可解决问题；

（1）如图1中，作BH⊥AC．

在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5．

∵ABBC=ACBH，∴BH=．在Rt△ABH中，AH==，分三种情况讨论：

①当BA=BP1时，PC1=4﹣3=1．

②当BA=BP2时．∵BH⊥AP2，∴AH=HP2=，∴CP2=AC﹣AP2=5﹣=．

③当AB=AP3时，CP3=5﹣3=2．

综上所述：满足条件的PC的值为1或或2．

故答案为：1或或2．

（2）如图2中，当以AD为直径的⊙O与BC相切时，切点为P，此时∠APD=90°，AD的长最小．

连接OP．则OP⊥BC，易证四边形BPO，四边形CDOP都是正方形，∴BC=AD=6，AB=CD=3，∴矩形ABCD面积的最小值为18．

（3）存在．如图3中，如图作等边三角形ABM的外接圆⊙O，当直线CD与⊙O相切与P时，四边形ABCD的面积最大，此时满足条件∠APB=∠AMB=60°．

延长MO交AB与E，作OF⊥AD与F，PT⊥BC与T，连接OP．，PT交OM于R．

∵AB=3，AD∥BC，∠C=45°，∴CD=AB=3．

∵△ABM是等边三角形，四边形AEOF是矩形，∴AE=EB=NR=RT=，AF=EO=，OM=OP=，OR=PR=，∴BT=AN=+，PN=DN=TN﹣PT=3﹣﹣=，∴AD=AN﹣DN=﹣（）=，BC=BT+CT=++=，∴S四边形ABCD=AB=（）=+3．