Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．
（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S_△ADP=S_△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

（1）二次函数解析式为：y=x²﹣4x+6；
（2）函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），点D的坐标为（6，0）；
（3）△BDE的面积为7.5．
（4）存在，P₁（4+，），P₂（4﹣，），P₃（3，﹣），P₄（5，﹣）．

试题分析：（1）利用待定系数法求出b，c即可求出二次函数解析式；
（2）把二次函数式转化可直接求出顶点坐标，由A对称关系可求出点D的坐标；
（3）由待定系数法可求出BC所在的直线解析式，与抛物线组成方程求出点E的坐标，利用△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积求出△BDE的面积；
（4）设点P到x轴的距离为h，由S_△ADP=S_△BCD求出h的值，根据h的正，负值求出点P的横坐标即可求出点P的坐标．
试题解析：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）
∴，解得
∴二次函数解析式为：y=x²﹣4x+6；
（2）由y=x²﹣4x+6，得y=（x﹣4）²﹣2，
∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），
∵点A，D是y=x²+bx+c与x轴的两个交点，
又∵点A（2，0），对称轴为x=4，
∴点D的坐标为（6，0）；
（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．
∴C点的坐标为（4，0）
∵B（8，6），
设BC所在的直线解析式为y=kx+b，
∴解得
∴BC所在的直线解析式为y=x﹣6，
∵E点是y=x﹣6与y=x²﹣4x+6的交点，
∴x﹣6=x²﹣4x+6
解得x₁=3，x₂=8（舍去），
当x=3时，y=﹣3，
∴E（3，﹣），
∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×=7.5．
（4）存在，
设点P到x轴的距离为h，
∵S_△BCD=×2×6=6，S_△ADP=×4×h=2h，
∵S_△ADP=S_△BCD
∴2h=6×，解得h=，
当P在x轴上方时，
=x²﹣4x+6，解得x₁=4+，x₂=4﹣，
当当P在x轴下方时，
﹣=x²﹣4x+6，解得x₁=3，x₂=5，
∴P₁（4+，），P₂（4﹣，），P₃（3，﹣），P₄（5，﹣）．