Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5．点P从点A出发，以每秒5个单位

长度的速度沿AC方向运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，当点Q和点B重合时，点P停止运动，以AP和AQ为边作APHQ．设点P的运动时间为t秒（t＞0）

（1）线段PQ的长为　 　．（用含t的代数式表示）

（2）当点H落在边BC上时，求t的值．

（3）当APHQ与△ABC的重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

（4）过点C作直线CD⊥AB于点D，当直线CD将APHQ分成两部分图形的面积比为1：7时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）4t；（2）t=；（3）当0＜t≤时， S=12t2，当≤t≤时，S==﹣t2+t；（4）t的值为或s．

【解析】

（1）利用勾股定理求出BC，再根据sinA=，构建方程即可解决问题；

（2）如图2中，因为QH∥AC，可得，由此构建方程即可解决问题；

（3）两种情形分别求解：①如图3中，当0＜t≤时，重叠部分是四边形APHQ．②如图4中，当≤t≤时，重叠部分是四边形ACMQ；

（4）两种情形画出图形分别利用三角形的中位线定理求解即可；

（1）如图1中，

在Rt△ACB中，∵AC=3，AB=5，∠C=90°，

∴BC==4，

∵AP=5t，sinA=，

∴，

∴PQ=4t，AQ==3t．

故答案为4t．

（2）如图2中，当点H落在BC上时．

∵QH∥AC，

∴，

∴，

∴t=．

（3）①如图3中，当0＜t≤时，重叠部分是四边形APHQ．S=12t2．

②如图4中，当≤t≤时，重叠部分是四边形ACMQ，

S==﹣t2+t．

（4）①如图5中，∵S△HEF：S五边形EQAPF=1：7，CD∥PQ，

∴EF是△HPQ的中位线．

∵cos∠A=，

∴AD=，

∵QH∥AC，

∴∠DQE=∠A，

∴cos∠DQE=cos∠A=，

∴=，

∴=，

∴t=．

②如图6中，当S△ADC：S五边形CDQHP=1：7时，CD是△APQ的中位线．

∴AQ=2AD，

∴3t=2×，

∴t=．

综上所述，满足条件的t的值为或s．