Question

如图，已知：⊙C的圆心C在x轴上，AB是⊙C的直径，⊙C与y轴交于D、E两点，且∠ACD=∠FDO．
（1）求证：直线FD是⊙C的切线；
（2）若OC：OA=1：2，DE=4，求直线FD的解析式．

Answer 1

（1）证明：∵∠COD=90°，
∴∠ACD+∠CDO=90°，
又∵∠ACD=∠FDO，
∴∠FDO+∠CDO=90°，
即FD⊥CD；
又∵CD是⊙C的半径，
∴FD是⊙C的切线；

（2）解：∵AB⊥DE，
∴DO=DE=2；
设OC=m，则OA=2m，CD=3m，
在Rt△OCD中，CD²=CO²+DO²，
∴m=1，
∴CD=3，CO=1；
可证：△COD∽△CDF，
∴=CF=9，
∴F（-8，0）D（0，2）；
设直线FD的解析式为y=kx+2，
∴k=，
∴y=x+2．
分析：（1）要证明FD是圆的切线，只要证明CD⊥FD即可，本题可用相等角的转换来实现，我们发现∠F+∠FDO=90°，而∠ACD=∠FDO；
因此∠F+∠ACD=90°，即∠FDC=90°，也就证出了垂直．
（2）求FD所在直线的函数就要知道F，D两点的坐标，已知了ED的长，那么就有了OD的长，也就知道了D点的坐标，因此求F点的坐标就是关键所在；直角三角形ODF中，有OD的值，只要求出∠FDO的正切值，就能求出OF的长了，我们知道∠ACD=∠FDO，那么∠FDO的正切值也就是∠ACD的正切值，直角三角形OCD中，我们发现OC，AO的和正好是半径的长；如果设出半径，那么就能表示出OC的长，又知道了OD的长，那么可用勾股定理求出半径CD和OC的长，那么也就求出了∠ACD的正切值，有了这个正切值，也就能求出OF的长了；进而可得出F的坐标，然后根据F，D的坐标用待定系数法求出FD所在直线的解析式．
点评：本题考查了一次函数，三角函数，勾股定理等知识点的综合应用，在直角三角形内求角和线段是本题解题的基本思路．