Question

15、在18×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数．求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格（有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格），每对小方格中所填之数的差均不小于10．

Answer 1

分析：此题首先找出最小者和最大者之间的差，再进行分情况讨论：最小者和最大者既不同行又不同列时；最小者和最大者同行或同列时；两种情况讨论得出结果．

解答：解：设a，b分别为这324个正整数中的最小者和最大者，由于这些数互不相等，所以有b-a≥323；
（1）当a和b所在的方格既不同行又不同列时；
从a所在的方格出发，可以通过一系列向相邻格（上下或左右）的移动而达到b所在的格．
由于a和b既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线（两路线途经的方格无一相同），由a所在的方格到达b所在的方格．显然，无论是线路甲，还是线路乙，其相邻移动的次数均不超过17+17=34次．
若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9，则323≤b-a≤34×9=306．这与事实不符．
路线乙的情况完全相同，所以，在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．
（2）当a和b所在的方格同行或同列时；
与情况1类似，同样可以找到两条完全不同的，移动次数不大于34次的路线甲和路线乙，其中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．

点评：此题主要利用两者之间的最大差距与存在不同的情况分类讨论进行解决问题．