Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC=PE·PO .

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若OE:EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；
（3）在（2）问下，求的值。

Answer 1

（1）连接OC，根据PC²=PE•PO和∠P=∠P，可证得△PCO∽△PEC，即可证得∠PCO=∠PEC，再结合已知条件即可得出PC⊥OC，从而证得结论；（2）3；（3）

解析试题分析：（1）根据和∠P=∠P，可证得△PCO∽△PEC，即可证得∠PCO=∠PEC，再结合已知条件即可得出PC⊥OC，从而证得结论；
（2）设OE=x，则AE=2x，根据切割线定理得，则，解一元二次方程即可求出x，从而得出⊙O的半径；
（3）连接BC，根据PC是⊙O的切线，得∠PCA=∠B，根据勾股定理可得出CE，BC，再由三角函数的定义即可求出结果．
（1）∵ 
∴
∵∠P=∠P
∴△PCO∽△PEC
∴∠PCO=∠PEC
∵CD⊥AB
∴∠PEC=90°
∴∠PCO=90°
∴PC是⊙O的切线；
（2）设OE=x
∵OE：EA=1：2
∴AE=2x
∵
∴
∵PA=6
∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x），
解得x=1
∴OA=3x=3
∴⊙O的半径为3；
（3）连接BC

∵
∴
∴
∴
∵PC是⊙O的切线
∴∠PCA=∠B

考点：切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义
点评：本题是一道综合性的题目，主要考查了学生对各种定义的综合应用能力，是中考压轴题，难度中等．