Question

25、证明：等腰三角形中，底边上的高线、中线、顶角的平分线重合．

Answer 1

分析：分AD是BC边上的高；AD是BC边的中线；AD平分∠BAC三种情况讨论，通过证明三角形全等得以证明．

解答：解：1、已知三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高．求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD．
证明：因为AD是高，所以∠ADB=∠ADC=90度，
因为AB=AC，AD=AD，
所以直角△ABD全等直角△ACD（HL）
所以BD=CD，∠BAD=∠CAD．

2、已知三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
证明：因为AB=AC，AD=AD，BD=CD，
所以△ABD≌△ACD，
所以∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．
因为∠ADB+∠ADC=180度，
所以∠ADB=90度，即有AD⊥BC．

3、已知三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，BD=CD．
证明：因为AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD，
所以∠ADB=∠ADC，BD=CD，
因为∠ADB+∠ADC=180度，
所以∠ADB=90度，即有AD⊥BC．

点评：本题考查了等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，即三线合一的证明．注意分类思想的运用．