Question

对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧.
（1）当r=时，
①在P₁（0，-3），P₂（4，6），P₃（，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是_______________；
②若点P在直线上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为_______________；
（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方.
①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P 在y轴上截得的弦长；
②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是_______________．

Answer 1

（1）①P₂，P₃；②P（-4，6）或P（4，-2）；（2）①；②．

试题分析：（1）①②直接根据定义作答.
（2）①根据定义和直线与圆的位置关系求解即可；②根据定义列不等式求解即可.
试题解析：（1）①P₂，P₃；
②P（-4，6）或P（4，-2）.
（2）①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，
∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I.
∴点P在线段EI的中垂线上.
∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE在y轴上，
∴E（0，2），I（3，5）.∴∠I EH=45°，
设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，
∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，∴L（0，5），
∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM.∴M（5，0）.
∴P在直线y=-x+5上.
∴设P（p，-p+5）.
过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，
∵⊙P与BC所在直线相切，∴PE=PQ.
∴，
解得：，.
∴．
∵⊙P过点E，且E点在y轴上，
∴⊙P在y轴上截得的弦长为.

②．