Question

已知A、B、C是半径为2的圆O上的三个点，其中点A是弧BC的中点，连接AB、AC，点D、E分别在弦AB、AC上，且满足AD=CE．
（1）求证：OD=OE．
（2）连接BC，当BC=2

2

时，求∠DOE的度数．

Answer 1

分析：（1）首先连接OA，由点A是弧BC的中点，易证得△AOD≌△COE，即可证得OD=OE；
（2）设连接BC交OA于点F，易得OF=BF，即可得∠AOB=45°，又由△AOD≌△COE，可得∠AOD=∠COE，继而可得∠DOE=∠AOB=45°．

解答：（1）证明：连接OA，
∵点A是弧BC的中点，
∴∠AOB=∠AOC，
∵OA=OB=OC，
∴∠ABO=∠BAO=∠CAO=∠ACO，
在△AOD和△COE中，

OA=OC ∠BAO=∠ACO AD=CE

，
∴△AOD≌△COE（SAS），
∴OD=OE；
（2）解：连接BC交OA于点F，
∵点A是弧BC的中点，
∴OA⊥BC，BF=

1

2

BC=

1

2

×2

2

=

2

，
在Rt△BFO中，OF=

OB2-BF2

=

2

，
∴BF=OF，
∴∠AOB=45°，
∵△AOD≌△COE，
∴∠AOD=∠COE，
∴∠BOD=∠AOE，
∴∠DOE=∠AOB=45°．

点评：此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、垂径定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．