Question

已知：关于x的方程x²-（2m-1）x+m²-m=0，
（1）求证：此方程必有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两根和与两根积的差为1，求m的值？

Answer 1

（1）证明：△=[-（2m-1）]²-4（m²-m）
=1＞0，
∴此方程必有两个不相等的实数根；

（2）设原方程的两个根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2m-1，x₁．x₂=m²-m，
由题意，得（x₁+x₂）-x₁．x₂=1
∴2m-1-（m²-m）=1　　　　　　　　　　　　　　　
∴m²-3m+2=0
∴m=2或m=1．
分析：（1）先计算△，得到△=[-（2m-1）]²-4（m²-m）=1，然后根据△的意义即可得方程必有两个不相等的实数根；
（2）设原方程的两个根分别为x₁、x₂，由根与系数的关系得到x₁+x₂=2m-1，x₁．x₂=m²-m，根据题意得到2m-1-（m²-m）=1，解关于m的方程即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系：若方程的两个根分别为x₁、x₂，则x₁+x₂=-，x₁．x₂=．