Question

用12m长的一根铁丝围成长方形．
（1）如果长方形的面积为5m²，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是8m²呢？
（2）能否围成面积是10m²的长方形？为什么？
（3）能围成的长方形的最大面积是多少？

Answer 1

解：设长方形的宽为xm则长为m，即为（6-x）m，则6-x≥x，得0＜x≤3
（1）根据题意，得x（6-x）=5，即 x²-6x+5=0，x₁=1，x₂=5（舍去）．
∴当长方形的宽为1m，长为6-1=5 m时，面积为5m²．
同样，当面积为8 m²时，有x（6-x）=8，即 x²-6x+8=0，x₁=2，x₂=4（舍去）．
∴当长方形的宽为2m，长为6-2=4 m时，面积为8 m²．
（2）当面积为10 m²时，x（6-x）=10，即 x²-6x+10=0，此时b²-4ac=36-40=-4＜0，故此方程无实数根．
所以这样的长方形不存在．
（3）设围成的长方形面积为k，则有x（6-x）=k．即 x²-6x+k=0，要使该方程有解，必须（-6）²-4k≥0，即k≤9
∴最大的k只能是9，即最大的面积为9 m²，此时x=3m，6-x=3m，这时所围成的图形是正方形．
分析：设长方形的宽为xm，而长方形的周长为12，由此得到长为=（6-x）m，所以6-x≥x，进一步得0＜x≤3．
（1）由于长方形的面积为5m²，由此列出方程x（6-x）=5，解方程即可求解；
（2）由于长方形的面积为 10 m²，由此列出方程x（6-x）=10，判断方程的根的情况即可求解；
（3）设围成的长方形面积为k，则有x（6-x）=k．即 x²-6x+k=0，要使该方程有解，必须判别式△=（-6）²-4k≥0，由此即可求出最大的k值解决问题．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．