Question

将非等腰△ABC的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F处．若点D为AB边的中点，则下列结论：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线，成立的有

①③

．

Answer 1

分析：根据图形可知△DFE是△ADE对折而成，所以两三角形全等，可得AD=DF，而D是AB中点，故有BD=DF，那么①可证；再利用∠ADF是△BDF的外角，可证∠DFB=∠EDF，那么DE∥BC，即DE是△ABC的中位线，③得证；利用DE∥BC，以及△DFE和△ADE的对折，可得∠EFC=∠ECF，又由∠DFE=∠A，而∠A不一定等于∠C，即可判定②不一定成立．

解答：解：∵△FDE是△ADE折叠而成，
∴△DFE≌△ADE，
∴AD=DF，
∵点D为AB边的中点，
∴AD=BD，
∴BD=DF，
即△BDF是等腰三角形；
故①正确；
∵△DFE≌△ADE，
∴∠ADE=∠FDE，
∵∠ADF=2∠FDE=∠B+∠DFB=2∠DFB，
∴∠FDE=∠DFB，
∴DE∥BC，
∵点D也是AB的中点，
∴点E也是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线；
故③正确；
同①可得△EFC也为等腰三角形，
∴∠C=∠CFE，
∵∠DFE=∠A，
∵∠A与∠C不一定相等，
∴∠DFE=∠CFE不一定成立；
故②错误．
故答案为：①③．

点评：此题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形中位线的判定．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．