Question

如图1，点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC=kAB（k为常数），连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．
（1）请说明∠AFE=∠ABE的理由；
（2）当k=1时，探究线段EF与EB的数量关系，并加以说明；
（3）当k≠1时，探究线段EF与EB的比值，请说明理由． 

Answer 1

分析：（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠FAB=∠ABC，∠BEF=∠ABC，所以可得到∠FAB=∠FEB，设AB、EF相交于点O，可以利用两角对应相等两三角形相似证明△AOF∽△EOB，然后根据相似三角形的对应角相等即可证明；
（2）过点E作ED⊥m，EP⊥AB，根据k=1可知AB=BC，再根据对边对等角的性质∠BAC=∠ACB，又两直线平行，内错角相等，可以证明AE平分∠DAP，所以ED=EP，然后证明△FDE与△EPB全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（3）连接FB．设AB与EF交于点O，利用（1）的结论先证明△AOF∽△EOB，根据相似三角形对应边成比例得到

OA

OF

=

OE

OB

，再根据两边对应成比例，夹角相等证明△ACB∽△FBE，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可得到线段EF、EB与线段AB、BC的关系．

解答：解：（1）∵m∥n，
∴∠FAB=∠ABC，
∵∠FEB=∠ABC，
∴∠FAB=∠FEB，
∵∠AOF=∠EOB，
∴△AOF∽△EOB，
∴∠AFE=∠ABE；

（2）作ED⊥m，EP⊥AB，
∵k=1，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵m∥n，
∴∠DAE=∠ACB，
∴∠DAE=∠BAC，
∴ED=EP（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在△FDE和△EPB中，

∠AFE=ABE ∠EDF=∠EPB=90° ED=EP

，
∴△FDE≌△EPB（AAS），
∴EF=EB（全等三角形对应边相等）；

（3）连接FB，设AB与EF交于点O，
在△AOF和△EOB中，

∠AFE=∠ABE ∠AOF=∠BOE(对顶角相等)

，
∴△AOF∽△EOB，
∴

OA

OF

=

OE

OB

，
又∵∠AOE=∠FOB，
∴△AOE∽△FOB，
∴∠CAB=∠EFB，
∵∠FEB=∠ABC，
∴△ACB∽△FBE，
∴

EF

EB

=

AB

BC

=

1

k

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，综合性较强，对同学们的图形识别能力有较高的要求，难度较大．