Question

【题目】实践探究题

(1)观察下列有规律的数：，，，，，…根据规律可知

①第10个数是________; 是第________个数．

②计算________．（直接写出答案即可）

(2)是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，是的差倒数，则 ________．

(3)高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．

例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2； ②[x]＋[－x]＝0；③ [2.5]＋[－2.5]＝－1； ④[x＋1]＋[－x＋1]的值为2.其中正确的结论有__________ (填序号)．

Answer 1

【答案】（1）①；17；②；（2）4；（3）①③

【解析】

（1）①以上分子均为1，分母是序数与序数加1的乘积，据此可得；由规律可知第n个数为，列方程求解可得；

②列项相消求解可得．

（2）根据差倒数定义，经过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律答题即可.

（3）根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．

解：（1）①∵第1个数

第2个数

第3个数

…
∴第10个数为；

由上可知第n个数为，

∴=

∴n（n+1）=306，
解得n=17或n=-18（不合题意，舍去），

∴是第17个数，
故答案为：17；

②∵，

∴原式=.

（2）根据差倒数定义可得：

可知3个数为一循环，
∴2019÷3余数为0，
∴则a2019=a3=4，
故答案为4．

（3）①[-2.1]+[1]=-3+1=-2，故①正确；
②[x]+[-x]=0，错误，例如：[2.5]=2，[-2.5]=-3，2+（-3）≠0；
③[2.5]+[-2.5]= 2+（-3）=-1，故③正确；
④当x=-0.5时，[x+1]=0，[-x+1]=1，
∴[x+1]+[-x+1]=1，

所以[x+1]+[-x+1]= 2错误．
故答案为：①③．