Question

已知a、b、c为△ABC的三边，有

2b-c

a

=

2c-a

b

=

2a-b

c

=k，且满足4b²-c²=2bc+c²．
（1）求k的值；
（2）试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）对原等式进行整理，再根据三角形三边关系不难求得k的值；
（2）对4b²-c²=2bc+c²整理可得b=c，再代入

2b-c

a

=

2c-a

b

=

2a-b

c

=k即可得到a=c，从而得到该三角形是个等边三角形．

解答：解：（1）根据题意有：2b-c=ka，2c-a=kb，2a-b=kc
∴a+b+c=k（a+b+c），
∵a、b、c为△ABC的三边，
∴a+b+c≠0，
∴k=1．
（2）∵4b²-c²=2bc+c²，
∴（4b²-c²）-（2bc+c²）=0，
（2b+c）（2b-c）-c（2b+c）=0，
2（2b+c）（b-c）=0，
∵2b+c≠0，
∴b-c=0即b=c，
∵k=

2b-c

a

=

2c-c

a

=

c

a

=1，
∴a=c，即a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．

点评：此题主要考查学生对三角形三边关系及等边三角形的判定的综合运用．