Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点，对称轴与x轴交于点H.

（1）求抛物线的函数表达式

（2）直线与y轴交于点E，与抛物线交于点P,Q（点P在y轴左侧，点Q 在y轴右侧），连接CP，CQ，若的面积为，求点P，Q的坐标.

（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用对称轴和A点坐标可得出，再设，代入C点坐标，求出a的值，即可得到抛物线解析式；

（2）求C点和E点坐标可得出CE的长，再联立直线与抛物线解析式，得到，设点P,Q的横坐标分别为，利用根与系数的关系求出，再根据的面积可求出k的值，将k的值代入方程求出，即可得到P、Q的坐标；

（3）先求直线AC解析式，再联立直线PQ与直线AC，求出交点G的坐标，设，,过G作MN∥y轴，过K作KN⊥MN于N，过K'作K'M⊥MN于M，然后证明△MGK'≌△NKG，推出MK'=NG，MG=NK，建立方程求出的坐标，再代入抛物线解析式求出m的值，即可得到K的坐标.

解：（1）∵抛物线对称轴，点

∴

设抛物线的解析式为

将点代入解析式得：，

解得，

∴抛物线的解析式为,即

（2）当x=0时，

∴C点坐标为(0,2)，OC=2

直线与y轴交于点E，

当x=0时，

∴点，OE=1

∴

联立和得：

整理得：

设点P,Q的横坐标分别为

则是方程的两个根,

∴

∴

∴的面积

解得（舍）

将k=3代入方程得：

解得：

∴

∴

（3）存在，

设AC直线解析式为，

代入A(4,0)，C(0,2)得

，解得，

∴AC直线解析式为

联立直线PQ与直线AC得

，解得

∴

设，,

如图，过G作MN∥y轴，过K作KN⊥MN于N，过K'作K'M⊥MN于M，

∵∠KGK'=90°，

∴∠MGK'+∠NGK=90°

又∵∠NKG+∠NGK=90°

∴∠MGK'=∠NKG

在△MGK'和△NKG中，

∵∠M=∠N=90°，∠MGK'=∠NKG，GK'=GK

∴△MGK'≌△NKG（AAS）

∴MK'=NG，MG=NK

∴，解得

即K'坐标为(,)

代入得：

解得：

∴K的坐标为或