Question

已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

（1）若折叠后使点B与点O重合，则点C的坐标为______；若折叠后使点B与点A重合，则点C的坐标为______；
（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
（3）若折痕经过点O，请求出点B落在x轴上的点B′的坐标；
（4）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，且使DB′⊥OA，求此时点C的坐标．

Answer 1

（1）如图（1），∵OB=4，延CD折叠后使点B与点O重合，
∴OC=BC=

1

2

OB=2，
∴C的坐标是（0，2），
如图（2）连接AC，
∵OB=4，延CD折叠后使点B与点A重合，
∴BC=AC，
设OC=a，则AC=BC=4-a，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC²+OA²=AC²，
a²+2²=（4-a）²，
解得：a=

3

2

，
即C（0，

3

2

），
故答案为：（0，2），（0，

3

2

）．
（2）如图（3）连接B′C，
∵延CD折叠后使点B与点B′重合，
∴BC=B′C=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理得：OC²+OB′²=B′C²，
y²+x²=（4-y）²，
即y=-

1

8

x²+2，y的取值范围是

3

2

≤y≤2．
（3）如图（4）
∵若折痕经过点O（C和O重合），点B落在x轴上的点B′，
∴OB=OB′=4，
即B′的坐标是（4，0）．
（4）如图（5）连接B′C，
设OB′=x，OC=y，
∵延CD折叠B和B′重合，
∴BC=B′C，BD=B′D，
∴∠CBB′=∠CB′B，∠DBB′=∠DB′B，
∵B′D⊥OA，∠AOB=90°，
∴B′D∥OB，
∴∠CBB′=∠BB′D，
∴∠CBB′=∠B′BD，
∴B′C∥BD，
∴△OB′C∽△OAB，
∴

OB′

OA

=

OC

OB

，
∴

x

2

=

y

4

，
即y=2x，
∴OB′=x，OC=2x，BC=4-2x=B′C，
在Rt△COB′中，由勾股定理得：x²+（2x）²=（4-2x）²，
∵x为边长，
∴x＞0，
解方程得：x=4

5

-8，2x=-16+8

5

，
∴C的坐标是（0，-16+8

5

）．