Question

如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N．
（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点C在第一象限时，四边形POBC的面积为S，请判断S是否存在最大（或最小），若存在，求出其值，并判断此时△PBC的形状；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据∠OPC=90°和同角的余角相等，我们可得出三角形OPM和PCN中两组对应角相等，要证两三角形全等，必须有相等的边参与，已知了OA=OB，因此三角形OAB是等腰直角三角形，那么三角形AMP也是个等腰三角形，AM=MP，OA=OB=MN，由此我们可得出OM=PN，由此我们可得出两三角形全等．
（2）知道了A的坐标，也就知道了OA、OB、MN的长，在直角三角形AMP中，我们知道了AP为m，那么可用m表示出AM、MP，也就能表示出OM、BN，PN的长，那么可根据四边形OPCB的面积=矩形的面积-三角形OMP的面积-三角形PCN的面积，来求出S，m的函数关系式．然后根据二次函数的性质求得答案．
（3）要分两种情况进行讨论：
当C在第一象限时，要想使PCB为等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，因此此时P与A重合，那么P的坐标就是A的坐标．
当C在第四象限时，要想使PCB为等腰三角形，那么PB=BC，在等腰直角三角形PBN中，我们可以用m表示出BP的长，也就表示出了BC的长，然后根据（1）中的全等三角形，可得出MP=NC，那么可用这两个含未知数m的式子得出关于m的方程来求出m的值．那么也就求出了PM、OM的长，也就得出了P点的坐标．
解答：（1）证明：∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°，
∴四边形OBNM为矩形，
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠3=45°，
∵MN∥OB，
∴∠2=∠3=45°，
∴∠1=∠2=45°，
∴AM=PM，
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，
∴OM=PN，
∵∠OPC=90°，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠6，
∴△OPM≌△PCN；

（2）不存在．
解：设AP长为m，
∵AM=PM=APsin45°=m，
∴OM=1-m，
∴S=S_矩形OBNM-2S_△POM=（1-m）-2×（1-m）•m
=m²-m+1
=（m-）²，
∴当x＜时，S随m的增大而减小，
∵C在第一象限，
∴当点C于点B重合时，m=，
∴0≤m＜，
当m=0时，有最大值为1；
此时△PBC是等腰直角三角形．

（3）解：△PBC可能成为等腰三角形，
①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）
②当点C在第四象限，且PB=CB时
有BN=PN=1-m
∴BC=PB=PN=-m
∴NC=BN+BC=1-m+-m
由（2）知：NC=PM=m
∴1-m+-m=m
整理得（+1）m=+1
∴m=1
∴PM=m=，BN=1- m=1-
∴P（，1-）
由题意可知PC=PB不成立
∴使△PBC为等腰三角形的点P的坐标为（0，1）或（，1-）．
点评：本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形的性质；此题的设计比较精巧，将几何知识放在坐标系中进行考查，第1题运用相似形等几何知识不难得证，第2小题需利用第1小问的结论来建立函数解析式，第3小题需分类讨论，不要漏解，运用方程思想可以得到答案，分类讨论是正确解答本题的关键．