Question

（2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=-

4

27

x2+

22

3

交于点A（3，6）．
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度；
（2）如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立；
（3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．设OE=a，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式m=-

1

5

a²+

3 5

5

a（0＜a＜3

5

），这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，a的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个．这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题．
另外，在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度．

解答：解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；
∵6=3k，
∴k=2，
∴y=2x．（2分）
OA=

32+62

=3

5

．…（3分）

（2）

QM

QN

是一个定值，理由如下：
如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2；
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH
不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴∠MQH=∠GQN，
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN…（5分），
∴

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2，
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得

QM

QN

=2． …（7分）①①

（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R
∵∠AOD=∠BAE，
∴AF=OF，
∴OC=AC=

1

2

OA=

3

2

5

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC，
∴

OF

OC

=

AO

OR

=

3 5

3

=

5

，
∴OF=

3

2

5

×

5

=

15

2

，
∴点F（

15

2

，0），
设点B（x，-

4

27

x2+

22

3

），
过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，
∴

BK

FR

=

AK

AR

，
即

x-3

7.5-3

=

6-(- 4 27 x2+ 22 3 )

6

，
解得x₁=6，x₂=3（舍去），
∴点B（6，2），
∴BK=6-3=3，AK=6-2=4，
∴AB=5         …（8分）；
（求AB也可采用下面的方法）
设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（

15

2

，0）代入得
k=-

4

3

，b=10，
∴y=-

4

3

x+10，
∴

y=- 4 3 x+10 y=- 4 27 x2+ 22 3

，
∴

x1=3 y1=6

（舍去），

x2=6 y2=2

，
∴B（6，2），
∴AB=5…（8分）
（其它方法求出AB的长酌情给分）
在△ABE与△OED中
∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，
∴∠ABE=∠DEO，
∵∠BAE=∠EOD，
∴△ABE∽△OED．…（9分）
设OE=a，则AE=3

5

-a（0＜a＜3

5

），
由△ABE∽△OED得

AE

AB

=

OD

OE

，
∴

3 5 -a

5

=

m

a

，
∴m=

1

5

a（3

5

-a）=-

1

5

a²+

3 5

5

a（0＜a＜3

5

），
∴顶点为（

3

2

5

，

9

4

）
如答图3，当m=

9

4

时，OE=a=

3

2

5

，此时E点有1个；
当0＜m＜

9

4

时，任取一个m的值都对应着两个a值，此时E点有2个．
∴当m=

9

4

时，E点只有1个…（11分）
当0＜m＜

9

4

时，E点有2个…（12分）．

点评：本题是中考压轴题，难度较大，解题核心是相似三角形与抛物线的相关知识，另外也考查了一次函数、勾股定理等重要知识点．解题的难点在于转化思想的运用，本题第（2），（3）问都涉及到了问题的转化，要求同学们能够将所求解的问题转化为常见的数学问题，利用自己所熟悉的数学知识去解决问题，否则解题时将不知道从何下手而导致失分．