Question

如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°．过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形．

Answer 1

分析：根据梯形的两腰平行和等腰梯形的性质证得CB=BD，然后证明∠BDE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形来证明等边三角形．

解答：证明：∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=

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∠ABC=30°，
∵DC∥AB，
∴∠BDC=∠ABD=30°，
∴∠CDB=∠DBE
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵CF⊥BD，
∴F为BD的中点，
∵DE⊥AB，
∴DF=BF=EF，
由∠ABD=30°，得∠BDE=60°，
∴△DEF为等边三角形．

点评：本题考查了等腰梯形的性质及等边三角形的判定方法，等边三角形最常用的判定方法是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．