Question

5、已知n为正整数，且n²-71能被7n+55整除，试求n的值．

Answer 1

分析：可设被7n+55整除后得k，得到关于n的一元二次方程，根据根的判别式是完全平方式判断k的取值，进而判断n的值即可．

解答：解：设被7n+55整除后得k，
∴n²-7kn-（71+55k）=0，
∵n为正整数，
∴△=49k²+220k+284是完全平方数，
而（7k+15）²＜49k²+220k+284＜（7k+17）²，
∴49k²+220k+284=（7k+16）²，
解得 k=7，
∴n²-49n-456=0，即 （n+8）（n-57）=0，
∴n=57．

点评：考查数的整除性问题；采用比较范围的方法得到k的取值是解决本题的突破点．