Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），顶点C（1，-3），与x轴交于A，B两点，A（-1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断

PM

BE

+

PN

AD

是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断

PA

PB

=

EF

EG

是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线的顶点坐标就可以利用顶点式求函数的解析式．
（2）AB是圆的直径，因而∠ADB=∠AEB=90°，得到PN∥AD，得到

PN

AD

=

BP

AB

，同理

PM

BE

=

AP

AB

，这样就可以求出

PM

BE

+

PN

AD

的值．
（3）易证△AEB为等腰直角三角形，过点P作PH⊥BE与H，四边形PHEM是矩形，易证△APM∽△PBH，则

PA

PB

=

PM

PH

=

PM

ME

，再证明△MEP∽△EGF，则

PM

ME

=

EF

EG

因而

PA

PB

=

EF

EG

可证．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-3（1分）
将A（-1，0）代入：0=a（-1-1）²-3，
解得a=

3

4

（2分）
所以，抛物线的解析式为y=

3

4

（x-1）²-3，即y=

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

（3分）

（2）是定值，

PM

BE

+

PN

AD

=1（4分）
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵PM⊥AE，
∴PM∥BE，
∴△APM∽△ABE，
所以

PM

BE

=

AP

AB

①
同理：

PN

AD

=

PB

AB

②（5分）
①+②：

PM

BE

+

PN

AD

=

AP

AB

+

PB

AB

=1（6分）

（3）∵直线EC为抛物线对称轴，
∴EC垂直平分AB，
∴EA=EB，
∵∠AEB=90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°（7分）
如图，过点P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形．
∴PH=ME且PH∥ME．
在△APM和△PBH中，
∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°，
∴PH=BH，且△APM∽△PBH，
∴

PA

PB

=

PM

BH

，
∴

PA

PB

=

PM

PH

=

PM

ME

①（8分）
在△MEP和△EGF中，
∵PE⊥FG，
∴∠FGE+∠SEG=90°，
∵∠MEP+∠SEG=90°，
∴∠FGE=∠MEP，
∵∠PME=∠FEG=90°，
∴△MEP∽△EGF，
∴

PM

ME

=

EF

EG

②
由①、②知：

PA

PB

=

EF

EG

（9分）（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）

点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及相似三角形的对应边的比相等．