Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+x-

3

2

与x轴相交于A、B两点，顶点为P．
（1）求点A、B的坐标；
（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．

Answer 1

分析：（1）令y=0，则

1

2

x²+x-

3

2

=0，解方程即可得到点A、B的坐标；
（2）先利用对称性得到顶点P的坐标，然后根据△ABP的面积等于△ABE的面积得到点E坐标为（a，2），再把E（a，2）代入抛物线的解析式得到关于a的方程，解方程即可确定E点坐标；
（3）分类讨论：分别以AB、PA、PB为平行四边形的对角线，根据平行四边的性质易确定点F的坐标．

解答：解：（1）令y=0，则

1

2

x²+x-

3

2

=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴点A坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0）；

（2）存在．
抛物线的对称轴为直线x=-1，令x=-1，则y=

1

2

-1-

3

2

=-2，
∴P点坐标为（-1，-2），
∵△ABP的面积等于△ABE的面积，
∴点E到AB的距离等于2，
设E（a，2），
把E（a，2）代入抛物线的解析式得，

1

2

a²+a-

3

2

=2，解得a=-1-2

2

或-1+2

2

，
∴符合条件的点E的坐标为（-1-2

2

，2）或（-1+2

2

，2）．

（3）所有符合条件的点F的坐标为（-1，2）、（3，-2）、（-5，-2）．

点评：本题考查了解二次函数的综合题的方法：先通过二次函数的解析式确定各特殊点的坐标，得到有关线段的长，然后利用几何性质（如三角形面积公式，平行四边形的性质）去确定其他点的坐标．