Question

【题目】如图，在中，和的平分线相交于点，过点作 交于，交于，过点作于，下列四个结论：

①； ②；

③点到各边的距离相等；

④设，，则.

其中正确的结论有（ ）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BGC=90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEG和△CFG是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设GD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn，故④错误．

解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠GBC+∠GCB=90°-∠A，
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=90°+∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC=∠GBE，∠GCB=∠GCF，
∵EF∥BC，
∴∠GBC=∠EGB，∠GCB=∠FGC，
∴∠EGB=∠GBE，∠FGC=∠GCF，
∴BE=GE，CF=GF，
∴EF=GE+GF=BE+CF，
故①正确；
过点G作GM⊥AB于M，作GN⊥BC于N，连接GA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴GN=GD=GM=m，
∴S△AEF=S△AGE+S△AGF=AEGM+AFGD=GD（AE+AF）=mn；故④错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故选：B．