Question

有一长方形纸片ABCD，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．
（1）请说明△DEF是等腰三角形；
（2）若AD=3，AB=9，求BE的长；
（3）若连接BF，试说明四边形DEBF是菱形．

Answer 1

解：（1）∵长方形ABCD折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，如图，
∴∠1=∠2，
∵AB∥DC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵长方形ABCD折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，
∴ED=EB，
设BE=x，则DE=x，AE=AB-x=9-x，
在Rt△ADE中，AD=3，
∵AD²+AE²=DE²，
∴3²+（9-x）²=x²，解得x=5，
∴BE=5；

（3）如图，∵△DEF是等腰三角形，
∴DE=DF，
而DE=BE，
∴BE=DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
而ED=EB，
∴四边形DEBF是菱形．
分析：（1）根据折叠的性质得∠1=∠2，根据矩形的性质得AB∥DC，则∠1=∠3，所以∠2=∠3，然后根据等腰三角形的判定定理得到△DEF是等腰三角形；
（2）根据折叠的性质得到ED=EB，设BE=x，则DE=x，AE=AB-x=9-x，在Rt△ADE中利用勾股定理可求出x的值；
（3）先利用（1）的结论得到DE=DF，而DE=BE，则可得到BE=DF，加上BE∥DF，则可先判断四边形BEDF为平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DEBF是菱形．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及菱形的判定方法．