Question

有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD=300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖（点F）到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y（厘米）作为此人此次的弹跳成绩．设CE=x（厘米），EF=a（厘米）．
（1）问点G比点A高出多少厘米？（用含y，a的式子表示）
（2）求出由x和a算出y的计算公式；
（3）现有甲、乙两组同学，每组三人，每人各选择一个适当的位置尽力跳了一次，且均刚好触到斜杆，由所得公式算得两组同学弹跳成绩如下右表所示，由于某种原因，甲组C同学的弹跳成绩辨认不清，但知他弹跳时的位置为x=150厘米，且a=205厘米，请你计算C同学此次的弹跳成绩，并从两组同学弹跳成绩的整齐程度比较甲、乙两组同学的弹跳成绩．

	甲组			乙组
	A同学	B同学	C同学	a同学	b同学	C同学
弹跳成绩（厘米）	36	39		42	44	34

（方差计算公式：S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，其中

.

x

表示x₁、x₂、…、x_n的平均数）

Answer 1

分析：（1）根据题意，构造直角△ABM与△AGN，解可得GN的长，即G比点A高出的距离；
（2）结合图形，得出△ANG∽△AMB，根据相似三角形的性质，可得到y的计算公式；
（3）分别计算甲乙两人的方差，并比较其大小；根据方差的意义，可得出结论．

解答：解：（1）过A作AM⊥BD于点M，交GE于N，
∵AC⊥CD，GE⊥CD，
∴四边形ACEN为矩形．
∴NE=AC．
又∵AC=200，EF=a，FG=y，
∴GN=GE-NE=a+y-200．
即点G比点A高出（a+y-200）厘米．

（2）∵DM=AC=200，
∴BM=BD-DM=300-200=100．
∵GN∥BM，
∴△ANG∽△AMB．AM=CD=300，
∴

AN

AM

=

GN

BM

，即

x

300

=

a+y-200

100

．
∴y=

1

3

x-a+200．

（3）当x=150cm，a=205cm时，y=

1

3

×150-205+200=45（cm）．
即甲组C同学的弹跳成绩为45cm．
∵

.

x

_甲=

1

3

（36+39+45）=40，

.

x乙

=

1

3

（42+44+34）=40，
∴S_甲²=

1

3

[（36-40）²+（39-40）²+（45-40）²]=14，
S_乙²=

1

3

[（42-40）²+（44-40）²+（34-40）²]=

56

3

．
∴S_甲²＜S_乙²，即甲组同学的弹跳成绩更整齐．

点评：本题考查方差的计算方法及意义．一般地设n个数据，x₁，x₂，…xn的平均数为

.

x

，则差S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．