Question

如图，AB是⊙O的直径，CB、CD是⊙O的两条切线，D为切点，AC与⊙O交于点E，连接BE．

（1）求证：△BEC∽△ABC；
（2）若CE＝4，AE＝5，求切线CD的长．

Answer 1

（1）根据圆周角定理及切线的性质可得∠4＝90°，∠1＝90°，即可得到∠2＝∠1，再结合公共角∠3即可证得结论；（2）6

试题分析：（1）根据圆周角定理及切线的性质可得∠4＝90°，∠1＝90°，即可得到∠2＝∠1，再结合公共角∠3即可证得结论；
（2）先求得AC的长，再根据相似三角形的性质即可求得CB的长，最后根据切线长定理即可求得结果.
（1）如图：

∵AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，
∴ ∠4＝90°，∠1＝90°．
∴ ∠2＝∠4＝90°．
∴ ∠2＝∠1．   
又∵ ∠3＝∠3
∴ △BEC∽△ABC；
（2）∵AC＝CE＋AE＝4＋5＝9
∵ △BEC∽△ABC，
∴．
∴ CB²＝CE·AC＝4×9＝36．
∴ CB＝6
∵ CB、CD是⊙O的两条切线
∴ CD＝CB＝6．
点评：解题的关键是熟记直径所对的圆周角是直角，切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的对应边成比例，注意对应字母写在对应位置上.