Question

【题目】已知，在中，，，为直线上一动点（不与点，重合），以为边作正方形，连接.

（1）如图1，当点在线段上时，请直接写出：，，三条线段之间的数量关系为________.

（2）如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变.（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请你写出正确的结论，并给出证明.

（3）如图3，当点在线段的反向延长线上时，且点，分别在直线的两侧，其他条件不变.请直接写出：，，三条线段之间的数量关系______________.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不成立，正确的结论：，见解析：（3）.

【解析】

（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；
（3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据条件即可求得．

解：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；

（2）不成立

，理由如下：如图2

∵，，

∴，

∴.

∵四边形为正方形，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴.

（3）根据①②可知△BAD≌△CAF（SAS），

故BD=CF，DC=BD+BC，

故BC=CD－CF.