Question

如图，已知抛物线P：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

X	…	-3	-2	1	2	…
y	…	- 5 2	-4	- 5 2	0	…

（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k•DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围；
若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述（2）、（3）小题换为下列问题解答（已知条件及第（1）小题与上相同，完全正确解答只能得到5分）：
（2）若点D的坐标为（1，0），求矩形DEFG的面积．

Answer 1

分析：（1）可任选三组坐标，用待定系数法即可求出抛物线P的解析式．然后根据抛物线P的解析式即可得出A、B、C三点的坐标；
（2）求矩形的面积需知道矩形的长和宽，可先在直角三角形AOC中，根据AD，OA，DG，CD的比例关系式，用m表示出DG的长，同理可在直角三角形BCO中表示出OE的长，进而可根据ED=EO+OD得出ED的长，然后由矩形的面积公式即可得出S与m的函数关系式；
（3）根据（2）的函数关系式即可得出S的最大值及对应的m的值．进而可得出D，E，F，G的坐标．如果设DF的延长线交抛物线于N点，那么可先求出FN与DF的比例关系．如果过N作x轴的垂线设垂足为H，那么我们可得出EF：DF=DF：DN，而EF，DF均为F，N点的纵坐标的绝对值，因此要先求出N点的纵坐标，可先根据D、F的坐标求出直线DF的解析式，然后联立直线DF的解析式与抛物线P的解析式求出N点的坐标，然后根据上述比例关系求出FN、DF的比例关系，如果求出此时FN=k₁DF，那么由于M不在抛物线上，因此k的取值范围就是k＞0，且k≠k₁．
若选（2）可参照上面（2）的求解过程进行计算．

解答：解：（1）解法一：设y=ax²+bx+c（a≠0），
任取x，y的三组值代入，

4a-2b+c=-4 a+b+c=- 5 2 4a+2b+c=0

，
解得

a= 1 2 b=1 c=-4

，
∴解析式为y=

1

2

x2+x-4，
令y=0，求出x₁=-4，x₂=2；
令x=0，得y=-4，
∴A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．

（2）由题意，

AD

AO

=

DG

OC

，
而AO=2，OC=4，AD=2-m，
故DG=4-2m，
又

BE

BO

=

EF

OC

，EF=DG，得BE=4-2m，
∴DE=3m，
∴S_DEFG=DG•DE=（4-2m）3m=12m-6m²（0＜m＜2）．
注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解．

（3）∵S_DEFG=-6m²+12m=-6（m-1）²+6，（0＜m＜2），
∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．
当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，-2），F（-2，-2），E（-2，0），
设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=

2

3

，b=-

2

3

，
∴y=

2

3

x-

2

3

，
又可求得抛物线P的解析式为：y=

1

2

x2+x-4，
令

2

3

x-

2

3

=

1

2

x2+x-4，可求出x=

-1± 61

3

．
设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为

-1- 61

3

，过N作x轴的垂线交x轴于H，有

FN

DF

=

HE

DE

=

-2- -1- 61 3

3

=

-5+ 61

9

，
点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是
k≠

-5+ 61

9

且k＞0．

若选择另一问题：
（2）∵

AD

AO

=

DG

OC

，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，
又∵

FG

AB

=

CP

OC

，而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，
∴S_DEFG=DG•FG=6．

点评：本题着重考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生数形结合的数学思想方法．