Question

（2013•景德镇二模）如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O₁和⊙O₂，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，分别连结O₁A、O₁B、O₂A、O₂B和AB．
（1）如图②，当∠AO₁B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；
（2）设∠AO₁B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）中，当重叠部分图形的周长y=2π时，则线段O₂A所在的直线与⊙O₁有何位置关系？请说明理由．除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用对称性得，∠AO₂B=∠AO₁B=120°，直接利用弧长公式求出即可；
（2）利用弧长公式直接求出y与x之间的关系即可；
（3）根据y=2π，由（2）可知：

π

45

x=2π，即可得出∠O₁AO₂=90°，即O₂A⊥O₁A，即可得出O₂A与⊙O₁相切，当0≤x≤90°和0≤x≤180°时，线段O₂A所在的直线与⊙O₁相交．

解答：解：（1）解法一：依对称性得，∠AO₂B=∠AO₁B=120°，
∴l=2×[

1

3

×(2π×2)]=

8π

3

；

解法二：∵O₁A=O₁B=O₂A=O₂B
∴四边形AO₁BO₂是菱形，
∴∠AO₂B=∠AO₁B=120°，
∴l=2×

AO2B

=2×

120×π×2

180

=2×

120×π×2

180

=

8π

3

；

（2）∵由（1）知，菱形AO₁BO₂中∠AO₂B=∠AO₁B=x度，
∴重叠图形的周长y=2×

2×π×x

180

，即y=

π

45

x（0≤x≤180）；

（3）当y=2π时，线段O₂A所在的直线与⊙O₁相切！
理由如下：∵y=2π，由（2）可知：

π

45

x=2π，
解得：x=90（度），
∴∠AO₁B=90°，因此菱形AO₁BO₂是正方形，
∴∠O₁AO₂=90°，即O₂A⊥O₁A，
而O₁A是⊙O₁的半径，且A为半径之外端；
∴O₂A与⊙O₁相切．
还有如下位置关系：当0≤x≤90°和0≤x≤180°时，线段O₂A所在的直线与⊙O₁相交．

点评：此题主要考查了切线的判定以及弧长公式的应用和直线与圆的位置关系，利用数形结合得出直线与圆的位置关系是解题关键．