Question

【题目】如图 1，直线 y=2x+2 分别交 x 轴、y 轴于点A、B，点C为x轴正半轴上的点，点 D从点C处出发，沿线段CB匀速运动至点 B 处停止，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，点 C′是点C关于直线DE的对称点，连接 EC′，若△ DEC′与△ BOC 的重叠部分面积为S，点D的运动时间为t（秒），S与 t 的函数图象如图 2 所示．

（1）VD ,C 坐标为 ；

（2）图2中，m= ，n= ，k= .

（3）求出S与t 之间的函数关系式（不必写自变量t的取值范围）.

Answer 1

【答案】（1）点D的运动速度为1单位长度/秒，点C坐标为（4，0）．（2）；；．（3）①当点C′在线段BC上时， S＝t2；②当点C′在CB的延长线上， S=t2＋t；③当点E在x轴负半轴， S＝t24t＋20．

【解析】

（1）根据直线的解析式先找出点B的坐标，结合图象可知当t＝时，点C′与点B重合，通过三角形的面积公式可求出CE的长度，结合勾股定理可得出OE的长度，由OC＝OE＋EC可得出OC的长度，即得出C点的坐标，再由勾股定理得出BC的长度，根据CD＝BC，结合速度＝路程÷时间即可得出结论；

（2）结合D点的运动以及面积S关于时间t的函数图象的拐点，即可得知当“当t＝k时，点D与点B重合，当t＝m时，点E和点O重合”，结合∠C的正余弦值通过解直角三角形即可得出m、k的值，再由三角形的面积公式即可得出n的值；

（3）随着D点的运动，按△DEC′与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑：①通过解直角三角形以及三角形的面积公式即可得出此种情况下S关于t的函数关系式；②由重合部分的面积＝S△CDES△BC′F，通过解直角三角形得出两个三角形的各边长，结合三角形的面积公式即可得出结论；③通过边与边的关系以及解直角三角形找出BD和DF的值，结合三角形的面积公式即可得出结论．

（1）令x＝0，则y＝2，即点B坐标为（0，2），

∴OB＝2．

当t＝时，B和C′点重合，如图1所示，

此时S＝×CEOB＝，

∴CE＝，

∴BE＝．

∵OB＝2，

OE＝，

∴OC＝OE＋EC＝＋＝4，BC＝，CD＝，

÷＝1（单位长度/秒），

∴点D的运动速度为1单位长度/秒，点C坐标为（4，0）．

故答案为：1单位长度/秒；（4，0）；

（2）根据图象可知：

当t＝k时，点D与点B重合，

此时k＝＝2；

当t＝m时，点E和点O重合，如图2所示．

sin∠C＝＝＝，cos∠C＝，

OD＝OCsin∠C＝4×＝，CD＝OCcos∠C＝4×＝．

∴m＝＝，n＝BDOD＝×（2）×＝．

故答案为：；；2．

（3）随着D点的运动，按△DEC′与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑：

①当点C′在线段BC上时，如图3所示．

此时CD＝t，CC′＝2t，0＜CC′≤BC，

∴0＜t≤．

∵tan∠C＝，

∴DE＝CDtan∠C＝t，

此时S＝CDDE＝t2；

②当点C′在CB的延长线上，点E在线段OC上时，如图4所示．

此时CD＝t，BC′＝2t2，DE＝CDtan∠C＝t，CE＝＝t，OE＝OCCE＝4t，

∵，即，

解得：＜t≤．

由（1）可知tan∠OEF＝＝，

∴OF＝OEtan∠OEF＝t，BF＝OBOF＝，

∴FM＝BFcos∠C＝．

此时S＝CDDEBC′FM＝；

③当点E在x轴负半轴，点D在线段BC上时，如图5所示．

此时CD＝t，BD＝BCCD＝2t，CE＝t，DF＝，

∵，即，

∴＜t≤2．

此时S＝BDDF＝×2×(2t)2＝t24t＋20．

综上，当点C′在线段BC上时， S＝t2；当点C′在CB的延长线上， S=t2＋t；当点E在x轴负半轴， S＝t24t＋20．