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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．
    （1）若点E与点P重合，求k的值；
    （2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
    （3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．
    【答案】分析：（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；
    （2）当k＞2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE=k2-k+1，根据S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；
    （3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；
    ②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，=，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．
    解答：解：（1）若点E与点P重合，则k=1×2=2；

    （2）当k＞2时，如图1，
    点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，
    ∵PF⊥PE，
    ∴S△FPE=PE•PF=（-1）（k-2）=k2-k+1，
    ∴四边形PFGE是矩形，
    ∴S△PFE=S△GEF，
    ∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE=•k--（k2-k+1）-=k2-1
    ∵S△OEF=2S△PEF，
    ∴k2-1=2（k2-k+1），
    解得k=6或k=2，
    ∵k=2时，E、F重合，
    ∴k=6，
    ∴E点坐标为：（3，2）；

    （3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，
    ①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，
    ∵△FHM∽△MBE，
    ∴=，
    ∵FH=1，EM=PE=1-，FM=PF=2-k，
    ∴=，BM=，
    在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，
    ∴（1-）2=（）2+（）2，
    解得k=，此时E点坐标为（，2），

    ②当k＞2时，如图3，
    只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，=，
    ∵FQ=1，EM=PF=k-2，FM=PE=-1，
    ∴=，BM=2，
    在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，
    ∴（k-2）2=（）2+22，解得k=或0，但k=0不符合题意，
    ∴k=．
    此时E点坐标为（，2），
    ∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．
    点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质解答．
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    		2
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