Question

已知：E是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点，点E从D点向B点运动（与点B、D不重合），过点E的直线MN平行于DC，交AD于点M，交BC于点N，EF⊥AE于点E，交CB（或CB的延长线）于点F．
（1）如图甲，线段EM与FN之间有怎样的大小关系？请证明你的结论．
（2）点E在运动的过程中（图甲、图乙），四边形AFNM的面积是否发生变化？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且MN∥DC，求证△MED和△NBE都是等腰直角三角形，又利用EF⊥AE，可得∠EFN=∠AEM，然后即可求证△AME≌△ENF，得出EM和FN的之间的关系；
（2）分两种情况进行讨论：①当点E运动到BD的中点时，利用四边形AFHG是矩形，可得S_{四边形AFNM}=

1

2

；②当点E不在BD的中点时，点E在运动（与点B、D不重合）的过程中，四边形AFNM是直角梯形．由图甲知，△AME≌△ENF，同理，图乙知，△AME≌△ENF，可得，S_{四边形AFNM}=

1

2

（AM+FN）•MN=

1

2

×1×1=

1

2

，然后即可得出结论．

解答：解：（1）EM=FN
证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且MN∥DC，
∴四边形AMNB和四边形MNCD都是矩形，∠MDE=45°，∠NBE=45°，
∴△MED和△NBE都是等腰直角三角形．
∴∠AME=∠ENF=90°，AM=BN=NE．
∴∠EFN+∠FEN=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEM+∠FEN=90°，
∴∠EFN=∠AEM，
∴△AME≌△ENF．
∴EM=FN
（2）四边形AFNM的面积没有发生变化，
①当点E运动到BD中点时，
四边形AFNM是矩形，S_{四边形AFNM}=

1

2

，
②当点E不在BD的中点时，点E在运动（与点B、D不重合）的过程中，
四边形AFNM是直角梯形．
由（1）知，在图甲中，△AME≌△ENF．
同理，在图乙中，△AME≌△ENF．
∴ME=FN，AM=EN，
∴AM+FN=MN=DC=1，
不论在图甲或图乙中，这时S_{四边形AFNM}=

1

2

（AM+FN）•MN=

1

2

×1×1=

1

2

，
综合①、②可知四边形AFNM的面积是一个定值．

点评：此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题．