Question

如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．
（1）求证：△ABF≌△CAE；
（2）HD平分∠AHC吗？为什么？

Answer 1

（1）证明：∵ABCD为菱形，
∴AB=BC．
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠CAB=60°，
在△ABF和△CAE中，，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；

（2）答：HD平分∠AHC．
理由如下：过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，
∵△ABF≌△CAE，
∴∠BAF=∠CAE，
∵∠BAF+∠CAF=60°，
∴∠CAE+∠CAF=60°，
∴∠AHC=120°，
∵∠ADC=60°，
∴∠HAD+∠HCD=180°，
∵∠HAD+∠KAD=180°，
∴∠HCD=∠KAD，
在△ADK和△CDG中，，
∴△ADK≌△CDG（AAS），
∴DK=DG，
∵DG⊥CH，DK⊥FA，
∴HD平分∠AHC．
分析：（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后求出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠B=∠CAB=60°，然后利用“边角边”证明△ABF和△CAE全等即可；
（2）过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠CAE，然后求出∠AHC=120°，再根据四边形的内角和定理求出∠HAD+∠HCD=180°，根据平角的定义求出∠HAD+∠KAD=180°，从而得到∠HCD=∠KAD，然后利用“角角边”证明△ADK和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得DK=DG，然后利用到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．
点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．