Question

（2012•槐荫区一模）如图所示，抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（-1，0）、（0，-3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；
（3）在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得解；
（2）令y=0，利用抛物线解析式求出点C的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理列式表示出DC²与DE²，然后解方程求出m的值，即可得到点D的坐标；
（3）根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的长度，然后①分OC与CD是对应边；②OC与DP是对应边；根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，过点P作PG⊥y轴于点G，再分点P在点D的左边与右边两种情况，分别求出DG、PG的长度，结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0）、B（0，-3），
∴

1-b+c=0 c=-3

，
解得

b=-2 c=-3

，
故抛物线的函数解析式为y=x²-2x-3；

（2）令x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
则点C的坐标为（3，0），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴点E坐标为（1，-4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，
∵DC²=OD²+OC²=m²+3²，DE²=DF²+EF²=（m+4）²+1²，
∵DC=DE，
∴m²+9=m²+8m+16+1，
解得m=-1，
∴点D的坐标为（0，-1）；

（3）∵点C（3，0），D（0，-1），E（1，-4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根据勾股定理，CD=

OC2+OD2

=

32+12

=

10

，
在△COD和△DFE中，
∵

CO=DF ∠COD=∠DFE=90° DO=EF

，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°-90°=90°，
∴CD⊥DE，
①分OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴

OC

DC

=

OD

DP

，
即

3

10

=

1

DP

，
解得DP=

10

3

，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则

DG

DF

=

PG

EF

=

DP

DE

，
即

DG

3

=

PG

1

=

10 3

10

，
解得DG=1，PG=

1

3

，
当点P在点D的左边时，OG=DG-DO=1-1=0，
所以点P（-

1

3

，0），
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，点P（

1

3

，-2）；
②OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴

OC

DP

=

OD

DC

，
即

3

DP

=

1

10

，
解得DP=3

10

，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则

DG

DF

=

PG

EF

=

DP

DE

，
即

DG

3

=

PG

1

=

3 10

10

，
解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG-OD=9-1=8，
所以，点P的坐标是（-3，8），
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，
所以，点P的坐标是（3，-10），
综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（-

1

3

，0）、（

1

3

，-2）、（-3，8）、（3，-10）．

点评：本题考查了二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，相似三角形对应边成比例的性质，（3）题稍微复杂，一定要注意分相似三角形的对应边的不同，点P在点D的左右两边的情况讨论求解．